Большая советская энциклопедия - характеристическое уравнение

aik

n1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так: , где S1 = a11 + a22 +... ann — т. н. след матрицы, S2 — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида (i < k) и т.д., а Sn — определитель матрицы А. Корни Х. у. l1, l2,..., ln называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все lk действительны, у действительной кососимметричной матрицы все lk чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |lk| = 1. Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. — вековое уравнение. 2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами a0ly (n) + a1y (n-1) +... + an-1y' + any = 0 — алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и ее производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение a0ln + a1ln-1 +... + an-1 y' + any = 0. К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = сеlх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений , , Х. у. записывается при помощи определителя Х. у. матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.